1
00:00:02,819 --> 00:00:06,904
V matematice je klasický paradox
že lze postavit most,

2
00:00:07,024 --> 00:00:11,138
který balancuje nad okrajem stolu
a prostírá se nekonečně daleko.

3
00:00:11,864 --> 00:00:14,725
Bežný postup je velmi pomalý.

4
00:00:14,845 --> 00:00:17,088
Já vám ukážu,
jak ho postavit rychleji.

5
00:00:23,105 --> 00:00:27,620
Řekněme, že vám dám
10 stejných centimetrových kostek.

6
00:00:27,740 --> 00:00:31,735
Chci, abyste je vyvážili
na kraji stolu, aby utvořily most.

7
00:00:31,736 --> 00:00:33,144
Asi takto.

8
00:00:33,145 --> 00:00:37,954
Jak to udělat,
aby most přečníval co nejdále.

9
00:00:38,074 --> 00:00:40,407
Stopněte video,
jestli se nad tím chcete zamyslet.

10
00:00:40,740 --> 00:00:42,967
Začněme jednou kostkou.

11
00:00:43,087 --> 00:00:47,185
Můžeme ji ze stolu vystrčit
přesně o polovinu délky, ale ne dále.

12
00:00:47,703 --> 00:00:52,751
V tuto chvíli je polovina hmotnosti
nad stolem a polovina mimo stůl,

13
00:00:52,752 --> 00:00:57,582
což znamená, že těžiště
je přesně nadhranou stolu.

14
00:00:58,310 --> 00:01:05,276
Pod první kostku podsuneme druhou tak,
aby lícovala s hranou stolu.

15
00:01:05,767 --> 00:01:12,408
Vysuňte obě kostky přes hranu stolu
jak jen to jde, aniž by spadly,

16
00:01:12,647 --> 00:01:16,139
až bude jejich společné
těžiště nad hranou stolu.

17
00:01:16,874 --> 00:01:23,668
Vzdálenost, o jakou je posunete,
je v intervalu 0 - 1/2cm.

18
00:01:24,030 --> 00:01:25,732
Budeme jí říkat proměnná.

19
00:01:25,852 --> 00:01:27,198
X.

20
00:01:27,608 --> 00:01:30,588
Vysunete-li je o vzdálenost X
přes hranu stolu,

21
00:01:30,708 --> 00:01:32,721
kde se nachází těžiště?

22
00:01:33,378 --> 00:01:36,108
Řekněme, že každá kostka váží 1 gram.

23
00:01:36,794 --> 00:01:44,284
1. blok má 1/2 + x gramu mimo stůl
a 1/2 - x nad stolem.

24
00:01:44,704 --> 00:01:50,990
2. blok má mimo stůl x gramu
a 1 - x gramu nad stolem.

25
00:01:51,513 --> 00:01:53,532
Což znamená, že v součtu je

26
00:01:53,533 --> 00:02:01,599
1/2 + 2x gramu mimo stůl a
3/2 - 2x nad stolem.

27
00:02:01,895 --> 00:02:06,041
Aby bylo těžiště
přesně nad hranou stolu,

28
00:02:06,422 --> 00:02:11,624
Měla by se hmota mimo stůl
rovnat té nad stolem.

29
00:02:11,947 --> 00:02:18,055
1/2 + 2x = 3/2 - 2x

30
00:02:18,056 --> 00:02:23,687
Se špetkou algebry zjitíme,
že to nastane, když x = 1/4.

31
00:02:23,807 --> 00:02:28,111
Položme dospod třetí blok,
zarovnán s hranou stolu.

32
00:02:28,231 --> 00:02:30,976
Jak daleko lze vystrčit celou soustavu?

33
00:02:31,285 --> 00:02:34,964
Označme tuto vzdálenost x.

34
00:02:35,084 --> 00:02:42,378
1. blok má 3/4 + x hmoty mimo sůl
a 1/4 - x na stole.

35
00:02:43,121 --> 00:02:48,857
2. má 1/4+x mimo
a 3/4-x nad stolem.

36
00:02:48,858 --> 00:02:54,337
3. blok má mimo stůl x hmotnosti
a 1-x nad stolem.

37
00:02:54,899 --> 00:02:59,217
Aby bylo těžiště
přesně nad hranou stolu,

38
00:02:59,481 --> 00:03:02,743
Pravý sloupec a levý sloupec
se musí rovnat.

39
00:03:03,078 --> 00:03:08,609
tedy 1+3x se rovná 2-3x,

40
00:03:08,729 --> 00:03:12,019
což značí, že x = 1/6.

41
00:03:13,007 --> 00:03:19,199
Když přidáme vespod 4. blok,
1. blok bude kompletně za stolní hranou.

42
00:03:19,319 --> 00:03:21,812
Komplikuje to metodu,
kterou používáme.

43
00:03:22,344 --> 00:03:24,915
Ale shrňmě si, k čemu jsme došli.

44
00:03:25,214 --> 00:03:29,898
První blok přečnívá 1/2 cm přes druhý.

45
00:03:30,167 --> 00:03:34,323
2. blok přečnívá 1/4 cm přes třetí

46
00:03:34,734 --> 00:03:38,284
a 3. blok přečnívá 1/6 cm.

47
00:03:39,368 --> 00:03:43,208
Můžeme to přepsat jako:
1/2 krát 1/1,

48
00:03:43,209 --> 00:03:48,033
a 1/2 krát 1/2,
a 1/2 krát 1/3,

49
00:03:48,678 --> 00:03:55,604
Můžeme si dobře tipnout,
že 4. blok bude přečnívat 1/8 cm.

50
00:03:56,132 --> 00:03:58,982
Což je 1/2 krát 1/4.

51
00:03:59,592 --> 00:04:05,289
N-tý blok bude přečnívat
1/2 krát 1/n cm.

52
00:04:05,924 --> 00:04:06,992
Dokáži to.

53
00:04:07,295 --> 00:04:10,202
Řekněme, že máme (n-1) bloků

54
00:04:10,446 --> 00:04:15,278
vyvážených tak,
že jejich těžiště je nad hranou

55
00:04:15,771 --> 00:04:19,289
a jeden blok pod nimi
je se stolem v zákrytu.

56
00:04:19,846 --> 00:04:22,794
Můžeme je nahradit hmotnými body.

57
00:04:22,914 --> 00:04:30,084
takže (n-1) bloků se stane bodem
o hmotnosti (n-1) ve společném těžišti,

58
00:04:30,204 --> 00:04:32,639
přímo nad stolní hranou.

59
00:04:33,040 --> 00:04:38,247
Jeden blok je bod
s hmotností 1 ve svém středu.

60
00:04:38,248 --> 00:04:44,637
Posuneme tyto dva hmotné body tak,
aby jejich společné těžiště

61
00:04:44,757 --> 00:04:47,234
bylo přímo nad hranou stolu.

62
00:04:47,354 --> 00:04:51,681
Znovu si tu vzdálenost označíme x.

63
00:04:51,682 --> 00:04:57,845
Potom je 1 gram
ve vzdálenosti (1/2-x) vlevo od hrany

64
00:04:57,846 --> 00:05:01,808
a (n-1) gramů
ve vzdálenosti (x) vpravo.

65
00:05:02,291 --> 00:05:05,139
Aby byly vyvážené,
položíme je do rovnosti.

66
00:05:05,259 --> 00:05:10,700
S trochou algebry vidíme,
že x = 1/2n

67
00:05:10,820 --> 00:05:16,435
takže n-tý blok vždy přečnívá 1/2n cm.

68
00:05:16,436 --> 00:05:19,121
Teď přijde ta praštěná část.

69
00:05:19,241 --> 00:05:25,757
Když položíme n bloků,
sečteme jednotlivé přírůstky,

70
00:05:25,758 --> 00:05:30,034
abychom zjistili délku, o jakou
most přečnívá přes okraj stolu,

71
00:05:30,154 --> 00:05:37,122
se rovná 1/2 krát
(1/1+1/2+1/3+...+1/n).

72
00:05:37,444 --> 00:05:42,401
Takže jaký bude
nejdelší most z 10 bloků?

73
00:05:42,521 --> 00:05:47,734
Je to tento součet.
Což je shruba 1,46 cm.

74
00:05:47,854 --> 00:05:49,736
Co když máte 20 bloků?

75
00:05:49,856 --> 00:05:53,901
Potom váš most přečnívá asi 1,8 cm.

76
00:05:54,312 --> 00:06:05,319
Pro libovolné číslo n se tento součet
dá aproximovat přirozeným logaritmem.

77
00:06:05,925 --> 00:06:09,101
Přirozený logaritmus je inverzní
k exponenciále.

78
00:06:09,356 --> 00:06:13,621
Graf funkce ln(n) vypadá takto:

79
00:06:13,622 --> 00:06:16,235
Roste opravdu pomalu.

80
00:06:16,613 --> 00:06:24,622
Po vybalancování 100 bloků,
most bude dlouhý 1/2 . ln(100),

81
00:06:24,742 --> 00:06:27,874
nebo jinak 2,3 cm přes okraj stolu.

82
00:06:28,275 --> 00:06:36,558
S 1000 bloků,
3,5 cm.

83
00:06:36,778 --> 00:06:41,493
Když přidáváme bloky,
most neroste moc rychle.

84
00:06:41,613 --> 00:06:45,487
Ale co se stane, když použijeme
nekonečně mnoho bloků?

85
00:06:45,731 --> 00:06:50,260
Náš vzorec nám říká, že vzdálenost,
o jakou most přečnívá ze stolu,

86
00:06:50,261 --> 00:06:55,776
se rovná 1/2(1+1/2+1/3+1/4+...)

87
00:06:55,896 --> 00:07:03,481
Nekonečnému součtu (1+1/2+1/3+1/4+...)
se říká harmonická řada.

88
00:07:03,482 --> 00:07:06,719
Mimochodem je to příklad nekonečné řady.
(nekonečná řada-název kanálu)

89
00:07:06,720 --> 00:07:08,680
Některé řady jsou konečné.

90
00:07:08,681 --> 00:07:12,901
Sečtete nekonečně mnoho čísel,
a dostanete konečné číso.

91
00:07:12,902 --> 00:07:18,461
Půlka+čtvrtka+osmina+šestnáctina+...
se rovná jedné.

92
00:07:18,462 --> 00:07:22,198
A tady je úžasný grafický důkaz
tohoto tvrzení.

93
00:07:22,199 --> 00:07:25,910
Ale harmonická řada se nerovná
konečnému číslu.

94
00:07:26,030 --> 00:07:30,056
Matematici váhají se slovy,
že se něco rovná nekonečnu.

95
00:07:30,635 --> 00:07:33,955
Místo toho říkají, že harmonická řada diverguje.

96
00:07:34,075 --> 00:07:38,369
To znamená, že součet je větší,
než libovolné číslo.

97
00:07:38,489 --> 00:07:41,978
Neformálně, polopaticky
se to rovná nekonečnu.

98
00:07:42,098 --> 00:07:49,973
Samozřejmě jsou fyzické limity,
které náš libovolně dlouhý most zboří.

99
00:07:49,974 --> 00:07:54,023
Když to zkusíte s kartami,
kostkami nebo knihamu,

100
00:07:54,143 --> 00:07:59,161
zjistíte, jak obtížné je naplnit
teoretické rozměry, které jsme odvodili.

101
00:07:59,281 --> 00:08:04,439
V popisku je zajímavý článek,
který zkoumá tato omezení.

102
00:08:04,559 --> 00:08:10,282
Tedy s nekonečně mnoha bloky
můžeme postavit most do nekonečna.

103
00:08:10,283 --> 00:08:12,377
Ale je to velmi pomalý proces.

104
00:08:12,497 --> 00:08:15,802
Je o tom dost špatný matematický vtip.

105
00:08:16,047 --> 00:08:21,041
O harmonické řadě se ví, že diverguje,
ale nikdy jí při tom nikdo neviděl.

106
00:08:21,266 --> 00:08:25,664
Každopádně, šel by postavit
most do nekonečna rychleji?

107
00:08:25,665 --> 00:08:31,727
Prve jsme se omezili
na pokládání kostek po jedné.

108
00:08:31,728 --> 00:08:36,993
S tímto omezením je
nejrychleji rostoucí most ten náš.

109
00:08:36,994 --> 00:08:43,669
Ale neintuitivně, pokud si dovolíme
pokládat dvě kostky najednou,

110
00:08:43,670 --> 00:08:46,721
lze postavit most do nekonečna rychleji.

111
00:08:46,722 --> 00:08:53,106
Toto nevypadá jako most, možná ještě
pro pavouky, kteří visí hlavou dolů.

112
00:08:53,107 --> 00:08:59,372
Ale roste ze stolu mnohem rychleji,
než náš předchozí most

113
00:08:59,373 --> 00:09:01,862
Co to přesně znamená?

114
00:09:01,863 --> 00:09:12,111
Pamatujete, že předchozí most
při položení n bloků rostl jako ln(n).

115
00:09:12,404 --> 00:09:19,425
Nový most o n blocích
poroste jako n^1/3.

116
00:09:19,816 --> 00:09:23,426
Vlastně nemusíme
věnovat konstantám pozornost,

117
00:09:23,427 --> 00:09:27,031
moc na nich nezáleží,
když n je velmi velké.

118
00:09:27,246 --> 00:09:33,047
Starý most roste přibližně jako ln(n),
jehož graf vypadá takto:

119
00:09:33,048 --> 00:09:38,242
A nový most roste jako n^1/3,
jehož graf vypadá takto:

120
00:09:38,773 --> 00:09:42,516
Nový most roste exponenciálně rychleji.

121
00:09:42,778 --> 00:09:44,599
což je vlastně úžasné.

122
00:09:44,600 --> 00:09:48,017
Matematici Mike Paterson a Uri Zwick

123
00:09:48,018 --> 00:09:51,799
vytvořili superrychlý most
v článku z roku 2009.

124
00:09:51,800 --> 00:09:55,050
Nazvali ho parabolický sklad.

125
00:09:55,051 --> 00:09:58,732
Parabolický sklad nelze
postavit kamen po kameni.

126
00:09:58,733 --> 00:10:00,660
Jsou tam momenty,
kde by se to zvrhlo.

127
00:10:00,815 --> 00:10:04,908
Ale jde ho postavit po vrstvách, takto:

128
00:10:04,909 --> 00:10:08,363
Po položení každé vrstvy bude stabilní.

129
00:10:08,364 --> 00:10:12,179
Stručne: S dopomocí dokázali,

130
00:10:12,180 --> 00:10:16,989
Že nejrychleji, jak může
most růst, je n^1/3.

131
00:10:16,990 --> 00:10:20,617
n^1/3 je násobeno konstantou,

132
00:10:20,618 --> 00:10:25,966
Konstatnu můžete mít větši
oproti parabolickému skladu výše.

133
00:10:25,967 --> 00:10:32,904
O členu n^1/3 uvažujeme asypmtoticky,
to jest, se zvětšijícím se n.

134
00:10:32,931 --> 00:10:34,707
Moje výzva dne zní:

135
00:10:34,708 --> 00:10:36,264
Postavte nejlepší -

136
00:10:36,265 --> 00:10:39,385
- nejhezčí, největší, nejvtipnější,
cokoli si pod nejlepší představíte -

137
00:10:39,386 --> 00:10:42,593
most, na jaký se zmůžete,
a pošlete nám fotku.

138
00:10:42,594 --> 00:10:49,013
Ať už původní harmonickou konstrukci,
parabolický sklad, nebo něco vlastního.

139
00:10:49,014 --> 00:10:53,392
Linkněte ho v komentářích,
pověste na náš twitter,

140
00:10:53,393 --> 00:10:57,902
nebo nám ho pošlete e-mailem.

141
00:10:57,903 --> 00:11:01,032
Uvidíme se příště na našem kanále.

142
00:11:01,033 --> 00:11:04,479
Ahoj, jenom bych chtěla
 reagovat na některé komentáře 

143
00:11:04,480 --> 00:11:07,385
k naší druhé epizodě 
o Shorově algoritmu.

144
00:11:07,386 --> 00:11:09,680
MultiMurmaide píše:

145
00:11:09,681 --> 00:11:14,771
Nechápu, jak může svět těži ze zničení
 veškerých internetových zabezpečení.

146
00:11:14,772 --> 00:11:17,561
Zní to jako kolaps světové ekonomiky.

147
00:11:18,001 --> 00:11:22,554
Za prvé, matika Shorova algorimu
 je podle mě super,

148
00:11:22,555 --> 00:11:25,945
ne jeho potenciál 
na zničení světové ekonomiky.

149
00:11:25,946 --> 00:11:29,037
ale myslím, že ani o to 
se nemusíme strachovat.

150
00:11:29,038 --> 00:11:31,528
I kdybychom vyvinuli kvantové počítače,

151
00:11:31,529 --> 00:11:34,471
i kdybychom použili Shorův algoritmus,

152
00:11:34,472 --> 00:11:38,053
což by zasadilo ránu 
naší moderní kryptografii,

153
00:11:38,054 --> 00:11:40,356
velmi pravděpodobně
 bychom vyvinuli novou

154
00:11:40,357 --> 00:11:44,018
a mohli bychom nově zabezpečit 
informace pomocí kvantových počítačů.

155
00:11:44,019 --> 00:11:50,565
Asi bychom se neměli příliš strachovat 
o kompletní zničení veškeré bezpečnosti.

156
00:11:50,898 --> 00:11:53,186
Marshall Webb píše:

157
00:11:53,187 --> 00:11:56,296
Několikrát jsi zmínila, 
že po trasforaci kvantový počítač

158
00:11:56,297 --> 00:11:59,526
 „velmi pravděpodobně“
dá správnou odpověď.

159
00:12:00,228 --> 00:12:02,656
Ale jak pravděpodobné to je?

160
00:12:02,657 --> 00:12:05,369
A nestane se v počítači, 
který dělá miliardy výpočtů,

161
00:12:05,370 --> 00:12:07,875
že malá chyba způsobí velký problém?

162
00:12:07,876 --> 00:12:12,547
To je dobrá otázka
 o kvantových počítačích obecně,

163
00:12:12,548 --> 00:12:14,321
nejen na Shorův algoritmus.

164
00:12:14,322 --> 00:12:16,871
Kvantové počítače 
fungují pravděpodobnostně,

165
00:12:16,872 --> 00:12:19,600
takže existuje možnost,
 že udělají chybu.

166
00:12:19,601 --> 00:12:22,415
ale o to se vážně 
nemusíme strachovat.

167
00:12:22,416 --> 00:12:28,935
A 10sTinTh0uGhT 
podává solidní vysvětlení:

168
00:12:28,936 --> 00:12:35,782
Poukázal, že 1) lze zkontrolovat 
výstup kvantového počítače

169
00:12:35,783 --> 00:12:37,647
pomocí klasického počítače.

170
00:12:37,648 --> 00:12:41,531
V případě Shorova algoritmu
 lze jednoduše použít klasický počítač 

171
00:12:41,532 --> 00:12:46,069
na kontrolu, jestli jsou 
čísla výstupu opravdu dělitelé n

172
00:12:46,070 --> 00:12:50,450
nebo vám to dalo periodu, 
a tak podobně.

173
00:12:50,451 --> 00:12:59,138
2) Výpočet lze provést vícekrát
 a tím snížit pochybení.

174
00:12:59,138 --> 00:13:01,303
Pokud se pokaždé vyskytne malá chyba,

175
00:13:01,397 --> 00:13:05,697
Pravděpodobnost, že se vyskytne 
chyba mnohokrát  je velmi malá.

176
00:13:05,698 --> 00:13:11,520
Prostě ho provedeme vícekrát.
Pro kvantový počítač to není problém.

177
00:13:11,521 --> 00:13:14,110
Kvantové počítače jsou opravdu rychlé.

178
00:13:14,111 --> 00:13:18,292
Nezáleží na tom, 
že výpočet provedeme 10 či 15 krát.

179
00:13:18,812 --> 00:13:20,653
Dobře, naviděnou příště.

180
00:13:20,753 --> 00:13:23,658
přeložil: F8
www.titulkomet.cz